[332]            
        Государственным издательством иностранной литературы переведены и опубликованы две книги по математической логике: в 1947 году книга Д. Гильберта и В. Аккермана «Основы теоретической логики» под редакцией проф. С. А. Яновской и с её же вступительной статьёй и комментариями и в 1948 году книга Альфреда Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» под редакцией и с предисловием С. А. Яновской и с примечаниями Г. М. Адельсона-Вельского.
        Различие между этими книгами в том, что в первой из них авторы мало теоретизируют, освещая главным образом технику логического исчисления, вторая же книга до отказа наполнена «принципиальными» соображениями и рассуждениями. Обе книги, написанные с идеалистических позиций, извращают сущность математической логики.Возникновение математической логики связано с реальными потребностями и особенностями математики.
        Бурное развитие математики со второй половины прошлого века, появление целого ряда новых отраслей этой науки, широкое применение математических методов в науках о природе, особенно в физике, вызвали острую потребность в методологическом и логическом обосновании математики, в уяснении сущности её предмета и методов. Развитие естествознания ведёт ко всё более глубокому отражению объективно существующего материального мира, ко всё более, полному и глубокому вскрытию количественных и качественных связей, имеющих место в материальном мире. Отсюда вытекает всё более возрастающая потребность различных областей естествознания в применении математических методов, необходимость в расширении предмета математики.
        В связи с развитием математики в ней возникло много трудностей, трудностей роста (например, парадоксы теории множеств и др.). После гениального открытия И. И. Лобачевским неэвклидовой геометрии возникли вопросы обоснования не только геометрии, но и любой другой математической дисциплины. Стремление преодолеть эти и другие трудности привело к созданию математической логики.Исходя из расширения предмета математики, многие буржуазные философы и математики сделали ложный вывод, что якобы математика может в конечном счёте заменить все науки. В действительности же развитие математики продемонстрировало ту непререкаемую истину, что ни математика, ни какая-либо отдельная специальная наука не может охватить все бесконечно многообразные взаимосвязи действительности, не может претендовать на роль «науки наук», что законы математики характеризуют лишь отдельные (количественно-пространственные) стороны явлений объективного мира.
        Классики марксизма-ленинизма дали нам ясные и совершенно достаточные указания для правильного понимания философских вопросов математики. Достаточно вспомнить многочисленные и глубокие высказывания Энгельса в «Анти-Дюринге» и в «Диалектике природы» о диалектической природе не только высшей, но и элементарной математики; указания Ленина в «Материализме и эмпириокритицизме» об идеалистических выводах из математизирования физики как одной из причин кризиса естествознания; математические рукописи Маркса, где он анализирует пути развития математики, пользуясь методом диалектического материализма. «...Математика переменных величин. самый значительный отдел которой составляет исчисление бесконечно-малых, есть по своей сущности не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям»[1],— писал Энгельс.
        Ясно, что решение задачи логического обоснования математики может быть осуществлено лишь на базе марксистского диалектического метода.
        Однако зарубежные «обоснователи» математики пошли по прямо противоположному пути: по пути идеализма и метафизики, по пути дальнейшего формализирования логи-
[332]  
ки, изъятия из неё всякого предметного содержания, по пути претензий на «мировое господство» математики, её методов и её логики в области науки.
        Эта тенденция выразилась также в необоснованном распространении математической логики в качестве основы любой науки, в частности логики. Но в действительности математическая логика есть дисциплина, с помощью которой решаются многие вопросы обоснования математики, теории доказательств и т. п.
        Новые задачи математики породили и новые методы математической логики. За последнее время математическая логика нашла широкое применение в технике.
        Реакционные философские взгляды основоположников буржуазной математической логики извратили содержание этой дисциплины. Поэтому советские математики, работающие в области математической логики, должны были бы подвергнуть резкой критике эти извращения.
        В книге Гильберта и Аккермана не различаются самое математическое исчисление и область его применений. Аппарат математической логики распространяется на обычную речь. В так называемом исчислении высказываний различные высказывания (то есть предложения, суждения) комбинируются друг с другом под углом зрения истинности или ложности их в отношении друг друга. Выделяются и обозначаются определёнными знаками основные логико-грамматические связи между высказываниями, выражаемые словами «и», «или», «не» (отрицание), «если — то», «равнозначно». Посредством этих связок, обычный смысл которых предварительно приспосабливается к их математическому употреблению, составляются сложные высказывания. Например, из двух основных высказываний: «2.2 — 4», «снег бел» получаем сложное высказывание: «если 2.2 = 4, то снег бел»[2]. Каждое из составляющих высказываний является лишь символом «истины» или «лжи», поэтому не имеет значения, какие именно высказывания мы соединяем. Соединяются, как видно из примера, любые основные высказывания, не имеющие друг к другу никакого отношения, по принципу: «В огороде — бузина, а в Киеве — дядька». Такого рода приём для книги Гильберта и Аккермана не случаен. Авторы, скрывая за специальными математическими выкладками свои идеалистические взгляды, пытаются подменить всякую логику математической.
        Идеалисты в логике, в том числе Гильберт и Аккерман, интересуются не смыслом высказывания, а правилом употребления связок (отношений). По их мнению, отношение «если — то» только тогда ложно, когда первое высказывание правильно, а второе ложно. Поэтому высказывания «если 2.2 = 5, то снег бел», «если 2.2 = 5, то снег чёрен» будут истинными, а высказывание «если 2.2 = 4, то снег чёрен» будет ложным[3].
        На основании систематического изучения свойств указанных отношений составляется комбинаторная теория «функций истинности». Указанные логико-словесные связи рассматриваются как функции, а связуемые ими высказывания — как аргументы.
        Те же логико-грамматические союзы фигурируют в другом способе исчисления высказываний — формально-дедуктивном.
        Теперь только они связуют не содержательные, не определённые высказывания типа «снег бел», а математические формулы, или, так сказать, абстрактные высказывания, высказывания вообще.
        В исчислении высказываний внутренняя структура высказываний, то есть отношение между субъектом и предикатом, не рассматривается. Высказывание берётся как нерасчленённое целое. В применении логического исчисления к логическим заключениям формальной логики («исчисление классов» и «комбинированное исчисление») предикаты, то есть свойства вещей, рассматриваются вне связи с их содержанием.
        Как в исчислении высказываний наши мысли (высказывания) отрываются одна от другой и соединяются самым случайным образом, так и здесь предикаты отрываются от своих носителей — субъектов — и смешиваются в общую кучу — «запас предикатов».
        Выяснение конкретной объективной истинности суждения или заключения заменяется подгонкой их под формулу, обозначающую «все предметы» или «все предметы данной группы» (данного множества), — формулу, часто противоестественную и даже бессмысленную.
        Вот пример. Истинность той или иной формулы, пишут Гильберт и Аккерман, означает, что «предикат X или X V У выполняется для всех предметов... Все формулы получают смысл всеобщих суждений. Чтобы выразить обычные всеобщие суждения, например: «Все люди смертны», можно сначала высказать такое суждение в форме: «Все предметы суть не люди или смертны».[4]
        Отрицательное всеобщее суждение «Никакой человек не совершенен» в интерпретации Гильберта и Аккермана гласит: «Все предметы не люди или не совершенны».[5]
[ 333]           
        Здесь налицо разрыв вещи и её свойств, дополняемый формально-словесным «преодолением» частного в пользу всеобщего. Последнее обстоятельство очень характерно. Ведь в действительности общее существует и выражается в частном, своеобразном. У Гильберта и Аккермана наоборот. Подлинная наука, изучая частные явления, ищет в них общее, их взаимосвязь. Математическая же логика в рассматриваемой книге «поднимает» всеобщее как чисто словесно-символическое выражение, как форму, не зависящую от опыта, от фактов. Если какое-либо отдельное, частное явление «есть, существует», то оно существует случайно и к общему не имеет отношения. Логика—одно, а действительность — совсем другое.
        Таким образом, такая интерпретация логического исчисления, как и дальнейшее «развитие» последнего («узкое исчисление предикатов» и «расширенное исчисление предикатов»), покоится на том же исходном методологическом «принципе» авторов этой книги: искать источник и критерий истины не в объективной действительности, не в практике, а в сочетании, комбинации понятий, обозначающих, в свою очередь, «чистые» отношения, словесные связи; видеть критерий истинности не в объективности содержания суждения или вывода, а в общности их формы, понимаемой при этом как словесная или символическая форма.
        Отвлечение от конкретного содержания отдельного явления или мысли в целях обобщения, нахождения общего содержания группы явлений или мыслей есть не только законный приём, но и одна из главных задач всякой науки (например, логики, грамматики). Но изъятие всякого содержания в пользу «чистой» и субъективной формы, творящей содержание, противоречит марксизму и науке.
        Принцип построения математической логики у Гильберта и Аккермана является идеалистическим по своему существу. Они заменяют оценку истинности или ложности суждений путём их сравнения с действительностью комбинаторикой отношений истинности — ложности, взятых в отрыве от действительности. В полном отрыве от содержания, по определённым, созданным этой комбинаторикой правилам, выводятся одни суждения из других, принимаемых за аксиомы. Таким образом, логический формализм доводится до своего предела — до построения науки как замкнутого в себе целого, оторванного от действительности.
        Материалистическая логика немыслима без признания предмета, тела как субстанции, как носителя свойств и отношений. Диалектический материализм считает, что не может быть научной логики без признания объективного существования вещей, как носителей столь же объективного движения. В противоположность этой материалистической установке в современной буржуазной литературе по математической логике предмет растворяется в отношении, исчезает как субстанция.
        Махистский характер зарубежной логики отношений очевиден. Эта «логика» полностью солидаризируется с измышлениями Маха о том, что тело образуется из известных уравнений, которые имеют место между чувственными элементами. Эти символические уравнения и отношения и составляют, согласно Маху, так же как и в буржуазной литературе по математической логике, основное содержание науки.
        Таким образом, математическая логика в том виде, в каком она представлена современными идеалистами, по своему методу есть не что иное, как проявление махизма и его новейших разновидностей в математике и логике.
        Во всей этой литературе усиленно подчёркивается чисто формальный характер аппарата и всех операций математической логики, полное исключение из них всякого содержания. Хотя один из способов построения математической логики и называется «содержательным», но мы видели, что математическая логика отрывает связку, соединяющую простые высказывания (в приведённом выше примере связку «если — то»), от содержания суждений, отношения рассматриваются в отрыве от их носителей. Из построенных при помощи этого метода «правил» выводятся «всегда истинные высказывания», или законы математической логики. Они также вполне формальны. «Первой задачей логики,— пишет Гильберт,— является: найти такие связи высказываний, которые всегда-истинны, т. е. истинны независимо от того, представляют ли основные высказывания истинные или ложные утверждения»[6]. Такой же характер носят в этом изложении и все остальные операции математической логики.
        Идеалистические извращения заводят математическую логику в тупик бессодержательного мышления. Являясь разновидностью «логики отношений», в её идеалистическом выражении (Рассел, Уайтхед и др.), сводящем все явления к «чистым отношениям», без материальных носителей этих отношений, идеалисты пытаются изгнать из логического мышления всякое предметное содержание, трактуют объект логики как «чистое» отношение без всякого носн-
[334]  
теля его. как результат внеопытного «творчества» мысли. Логику они строят как «исчисление», как вычислительную технику, совершаемую по определённым формальным правилам, дедуктивно выводимым из логических аксиом. Дедуктивный метод они объявляют единственно научным, начисто отрывая логическое мышление от опыта, от практики.
        Но этим дело не ограничивается. Представив логическое мышление автоматическим, бездумным, внеопытным, оторванным от действительности процессом, то есть превратив логику в её противоположность, в псевдологический механизм, буржуазные представители математической логики заявляют, что математика есть не что иное, как «чистая логика», и является вместе с математической логикой основой всех наук.
        Современные математические идеалисты пытаются доказать, что математические методы призваны заменить собою все остальные научные методы, что математика является универсальной наукой, наукой всех наук, а математическая логика — общенаучной методологией.
        Наиболее отчётливо это. выражено, пожалуй, в книге А. Тарского, который пренебрежительно относится к «традиционной логике»; говоря о «той малой роли, к которой свелось значение этой логики в современной науке»[7], он объявляет, что современная логика есть логика математическая[8], что «логика справедливо рассматривается как основа всех других наук»[9] и «не предполагает никакой предшествующей дисциплины»[10], что «всякая дедуктивная теория есть математическая дисциплина»[11]. Он сводит математику к логике. «То обстоятельство, — заявляет он, — что оказалось возможным развить всю арифметику в целом, включая и возникшие из неё дисциплины — алгебру, анализ и т. п., — как часть чистой логики, составляет одно из величайших достижений современных логических исследований»[12]. Извращая содержание математической логики, Тарский объявляет её основой всего знания. «Это направление, — пишет он, — первоначально возникло из довольно ограниченной задачи — укрепления основ математики. Однако в своём нынешнем виде оно преследует гораздо более широкие цели; оно стремится создать единый аппарат понятий, который мог бы служить общим базисом для всего человеческого знания».[13]
        Однако нетрудно видеть, что все эти утверждения представляют собой не что иное, как повторение на новый лад тех же истасканных и обветшалых «идей», которые были разгромлены в гениальной работе Ленина «Материализм и эмпириокритицизм».
        Не лишне заметить, что даже некоторые буржуазные исследователи критикуют потуги математических идеалистов изобразить математическую логику универсальным методом всех наук, а математику — как ту же самую логику, только в другом облачении, считая, что математика и логика сводятся математическими идеалистами к правилам игры, игры условной, но по существу враждебной или индифферентной к действительности, к «апофеозу правил, но правил без игры»[14].
        Так как математика является наукой о количественных отношениях и пространственных формах объективного мира, то она не может объяснять взаимосвязи явлений, для которых пространственно-количественные отношения несущественны. Что же касается логики, то не только математическая логика, но и никакая другая не может заменить собою науки, не может ни конструировать законы, ни открывать их, ибо для открытия законов действительности нужны прежде всего факты, добываемые путём наблюдения и эксперимента. Отрицание значения последних приводит, по существу, к попытке возрождения средневекового рационализма и схоластики, рецидиву априоризма.
        В своём гениальном труде «Анти-Дюринг» Энгельс показал всю беспочвенность попыток выведения содержания той или иной науки не только из аксиом математики, но и из собственных аксиом данной науки. Как известно, Дюринг защищал применение аксиоматического подхода к любой области знания, в том числе к истории, морали и праву. В связи с этим Энгельс пишет: «Метод его (Дюринга.— Т. и М.) состоит в том, чтобы разлагать каждую группу объектов познания на их якобы простейшие элементы, применять к этим элементам столь же простые, якобы самоочевидные аксиомы и затем оперировать добытыми таким образом результатами»[15]. Вскрывая идеалистическую сущность этого метода, Энгельс пишет далее: «Это только иная форма старого излюбленного идеологического метода, называемого также
[335]  
априорным, согласно которому свойства какого-либо предмета познаются не путём обнаружения их в самом предмете, а путём логического выведения их из понятия предмета. Сперва, исходя из предмета, составляют себе понятие предмета; затем переворачивают всё вверх ногами и превращают отображение предмета, его понятие в мерку для самого предмета. Теперь уже не понятие должно сообразоваться с предметом, а предмет должен сообразоваться с понятием»[16]; следовательно, этот метод, пишет Энгельс, является «...выведением действительности не из неё самой, а из представления».[17] Ясно, что идея вывести из аксиом чисто логически, без обращения к опыту и без проверки им, всего содержания той или иной науки является ложной. Роль теоретического мышления велика, но заменить опыт это мышление не может. Теоретическое мышление есть обработка данных опыта. А формальная аксиоматика считает логическое мышление самостоятельным источником познания.
        Указывая, что «благодаря постулатам формализаций формальный характер математики значительно усиливается», Тарский подчёркивает, что если раньше «по крайней мере, логическим понятиям нам разрешено было приписывать их обычные значения», то «теперь надлежит пренебрегать значениями всех без исключения выражений, встречающихся в данной дисциплине, и при создании дедуктивной теории мы должны действовать так, как будто её высказывания являются лишь сочетаниями знаков, лишённых какого-либо содержания; всякое доказательство будет теперь состоять в том, что аксиомы или предварительно доказанные теоремы будут подвергаться ряду чисто внешних преобразований»[18].
        Более того, Тарский считает, что самые аксиомы «мы... принимаем за истинные, не устанавливая каким-либо образом их достоверности».[19] Это — грубейшее извращение аксиоматического метода. Истинность аксиом должна подтверждаться всей практической деятельностью.
        Вопросов истинности Тарский касается и в других местах книги, всегда решая их идеалистически и формально. Так, например, на стр. 182 делается подмена объективной истины формальным признаком, который затем служит критерием истины. Он, так же как и Гильберт, исходя из формы в полном отрыве от содержания, рассматривая высказывания

         «если 2.2=4, то Нью-Йорк большой город;

         если 2.2 = 5, то Нью-Йорк большой город;

         если 2.2 = 4, то Нью-Йорк маленький город;

         если 2.2 = 5, то Нью-Йорк маленький город»,  

считает, что «в повседневной речи эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и ещё в меньшей степени — как истинные. С другой же стороны, с точки зрения математической логики, все они осмыслены, причём третье, высказывание ложно, а остальные три — истинны»[20].
        Столь же ненаучно и восхваление дедукции, а также деление наук на дедуктивные и индуктивные. Дедуктивный метод Тарский расценивает как «совершеннейший из всех методов, которым пользуются при построении наук»[21]. Этот метод, по Тарскому, носит чисто формальный характер. «При построении дедуктивной теории мы пренебрегаем смыслом аксиом и принимаем во внимание только их форму», именно поэтому... «и говорят о чисто формальном характере дедуктивных наук и всех рассуждений в области этих наук»[22].
        Для всякого ясна коренная противоположность этих концепций подлинной науке. Нет ни одной подлинной науки, которая применяла бы лишь одну дедукцию или одну индукцию. Каждая наука применяет оба этих метода. Это относится и к математике, несмотря на большую роль в ней метода дедукции. Как процесс математического обобщения, так и применение математики к технике не могут быть сведены к одной дедукции. На одной дедукции «основана» была лишь средневековая схоластика. Буржуазные математические логисты и хотят превратить науку в схоластику. В настоящий момент разгула в буржуазной философии априоризма и логицизма наряду с борьбой против ползучего эмпиризма особенно важно защищать опытную основу науки, в том числе и математики.
        На стр. 23—24 своей книги Тарский, восхваляя дедуктивные науки, противопоставляет их «эмпирическим наукам». Он пишет: «С точки зрения чисто методологической эмпирическую науку можно рассматривать не просто как научную теорию, т. е. как систему утверждаемых предложений, расположенных по определённым правилам, но скорее как некий комплекс, состоящий частично из таких утверждений и частично из примеров человеческой деятельности. Надо добавить, что, составляя резкую противоположность высокому развитию эмпириче-
[336]  
ских наук самих по себе, методология этих наук едва ли может похвалиться сколько-нибудь определёнными достижениями, несмотря на все затраченные усилия. Даже предварительная работа по выяснению понятий, содержащихся в этой области, ещё не выполнена сколько-нибудь удовлетворительным образом. Вследствие этого курс методологии в применении к эмпирическим наукам должен иметь совершенно иной характер, чем в применении к логике, и должен в значительной мере ограничиваться оценкой и критикой делаемых ощупью попыток или безуспешных усилий».
        Здесь, как и во многих других местах книги, отчётливо выражено высокомерное, пренебрежительное отношение идеалиста Тарского к опыту, ко всему, что вообще выходит за пределы абстрактных, дедуктивных построений. Только идеалист может с серьёзным видом делить науки на чисто дедуктивные и чисто эмпирические, полностью отрывая теорию от практики, от эксперимента. Только идеалист-реакционер или человек, не. знающий, что такое научный эксперимент, может смотреть на экспериментальное исследование как на совокупность делаемых ощупью попыток. Касаясь значения переменных в математике (стр. 43), Тарский исходит из махистского принципа «экономии человеческой мысли». Махисты пытались с помощью этого принципа «под новым соусом протащить субъективный идеализм».[23] Это же пытается проделать и идеалист Тарский. Во всех вопросах философии, которых он касается в своей книге, Тарский стоит на идеалистических позициях. Он часто ссылается на работы других логиков, допуская грубейшие извращения исторической правды. Например, на стр. 150 Тарский называет крупнейшего чешского математика Больцано немецким математиком. На протяжении всей книги автор восхваляет работы малоизвестных буржуазных логиков, но нигде не упоминает таких крупнейших русских учёных, сделавших большой вклад в математическую логику, как П. С. Корецкий (1846—1907), И. И. Жегалкин (1869 — 1947), М. И. Шейнфинкель (1887—1942). Вообще в книге ни слова не сказано ни о русских, ни о советских учёных.
        В книге имеется достаточное количество упражнений (176), которыми снабжена каждая глава. Но упражнения составлены таким образом, что совсем не помогают понять предмет математической логики, а наоборот, после их выполнения получается убеждение, что вся математическая логика— это только игра в символы и слова. Всё изложение книги пронизано духом формализма, в ней не вскрыты ни сущность, ни задачи математической логики.

         * * *

        Марксистское отношение к математической логике не является огульным отрицанием последней. Речь идёт не о том, чтобы «ликвидировать» математическую логик у, а о том, чтобы отсечь реакционную тенденцию в ней, извращения её, отражающие идеологию враждебных нам классов. В чём состоят эти извращения, нет необходимости повторять, но надо подчеркнуть, в чём должно состоять очищение математической логики от указанных извращений.
        Во-первых, надо решительно отмежеваться от претензий математической логики на роль всеобщей научной методологии. Самые названия книги Гильберта и Аккермана «Основы теоретической логики» и книги Тарского «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» свидетельствуют о раздувании буржуазными учёными значения математической логики. Роль всеобщей научной методологии была и остаётся за марксистским диалектическим методом, за марксистской теорией познания. Во-вторых, надо столь же решительно отмежеваться от претензий математики на роль «науки наук», претензий, тормозящих её правильное развитие. В-третьих, надо отвергнуть односторонне-дедуктивный и априорно-аксиоматический взгляд на математику и её теоретические основы, ибо это противоречит действительному существу математики, применяющей все общенаучные методы рациональной обработки опытного материала; успехи математики, как и всякой науки, основаны на критерии практики, а не на «экономии мышления», как это заявляет Тарский. В-четвёртых, надо решить, является ли математическая логика действительно логикой, какую роль она играет в логике. Этот вопрос назрел у самих советских математиков. В «Послесловии редакции» к книге Тарского на последней странице сказано: «Советских учёных математическая логика интересует в первую очередь как часть математики, как новая математическая дисциплина. обладающая специальным аппаратом и располагающая уже такими результатами и методами, которые могут быть непосредственно использованы в математике и в технике»[24]. Но если многие советские математики считают математическую логику лишь частью математики, то комментаторы указанных книг во всём остальном тексте
[337]  
своих примечаний подчёркивают роль математической логики как логической науки. В-пятых, надо решительно преодолеть «идею», что математика — это «особенная» наука, к которой применима лишь формальная логика. Мысль, например, о том, что все положения математики только тогда имеют смысл, когда они обработаны формально-логически, приведены к форме однозначного, «определённого» ответа «да» или «нет», отчётливо выражена в примечаниях Адельсона-Вельского: «…Для исследований математическими методами необходимо, чтобы изучаемые понятия подчинялись законам формальной логики, т. е. чтобы на вопрос о тех или иных их свойствах можно было дать вполне определённый ответ: «да» или «нет»[25]. Он, видимо, недостаточно осознал, что, как указывал Энгельс, математика в своём развитии прорвала узкий горизонт формальной логики. При таком, с позволения сказать, «понимании», естественно, нельзя бороться против формализма и логицизма в математике.
        Если внимательно присмотреться с методологической точки зрения к практической работе советских математиков в области математической логики, обнаружится, что их работа в значительной своей части идёт по пути преодоления реакционных, антинаучных наслоений и извращений в этой науке. Правилен фактический отход от трактовки математической логики как общей логики науки.
        Задача советских философов, работающих в области математики, состоит в том, чтобы помочь освобождению данной отрасли математики от всевозможных идеалистических извращений.
        Математическая логика отражает диалектический характер изучаемых математикой явлений и закономерностей объективного мира и диалектику развития самой математической науки. Мы полагаем, что в аппарате математической логики имеются, независимо от воли и желания отдельных авторов, диалектические моменты. Вообще развитие математики не в меньшей мере, чем развитие других наук, служит ярким подтверждением диалектического характера взаимосвязей материального мира и отражающего его мышления. У советских философов, работающих в области математики, большой долг перед нашим народом, перед всем прогрессивным человечеством: ими до сих пор не раскрыт и не показан процесс развития математики в его подлинном, действительном виде. Когда это будет сделано, тогда все попытки математических идеалистов извратить содержание математики потерпят полный провал.

         * * *

        Насколько далеки наши философы, работающие в области математики, от выполнения этой задачи не только в отношении математики в целом, но и в отношении её части, так называемой математической логики, показывают перечисленные уже работы тт. Яновской и Адельсона-Вельского, связанные с опубликованием книги Гильберта и Аккермана и книги Тарского.
        Эти работы являются выражением примиренчества к идеализму в математике.
        В послесловии редакции к книге Тарского справедливо указано, что как Тарский, так и другие лидеры математической логики являются представителями так называемого логического позитивизма — одного из современных махистских направлений в буржуазной философии. Однако ни редактор, ни комментатор не показывают прямого и непосредственного влияния реакционных философских взглядов этих буржуазных учёных на математическую логику.
        Ограничившись общими заявлениями об идеализме Тарского. Гильберта и других и критикой отдельных сторон их воззрений, тт. Яновская и Адельсон-Вольский не вскрывают идеалистических и метафизических основ их работ. С. А. Яновская и Г. М. Адельсон-Вельский не борются с попытками извратить содержание и раздуть значение дедуктивного метода. Какие аргументы находят они против высказываний Тарского, противопоставляющего «эмпирические.» науки «дедуктивным»? В примечании на стр. 24 написано:
        «Автор неправ, считая, что методология эмпирических наук не может похвастать сколько-нибудь определёнными достижениями. По существу, роль методологии эмпирических наук выполняет математическая статистика, т. е. теория обработки наблюдений, которая сильно развивается в последнее время методами теории вероятностей. Конечно, понятия математической логики играют роль в этой теории».[26]
        Таким образом, не только полностью принимается деление наук на эмпирические и дедуктивные, но, по существу, раздувается ещё в большей степени, чем у Тарского, значение математической логики как некоторой всеобщей методологии.
[338]            
        Получается, что роль методологии «эмпирических наук» выполняет не метод диалектического материализма, а... математическая статистика! Что может быть нелепее подобного утверждения! Согласно Адельсону- Вельскому, математическая логика является основой не только «дедуктивных наук», но и наук «эмпирических», на которые не решился посягнуть даже махист Тарский. Вот до чего может довести некритический подход к творениям буржуазных реакционеров от науки!
        Мы уже упоминали, что в математической логике есть отдел («исчисление классов»), применяющий логическое исчисление к учению формальной логики о формах мышления. Согласно Яновской, положение «Все советские женщины уравнены в правах с советскими мужчинами» на языке этого исчисления выражается так: «Для всякого предмета (или «для всякого человека») верно, что если этот предмет есть советская женщина, то он уравнен в правах с советскими мужчинами»^[27].
        Поистине, для всякого «предмета», даже из «класса не-людей», должно быть ясно, что подобные высказывания — это не наука. Всякий смертный, не одурманенный формализмом, видит, что эти упражнения ничего не дают логике, ведут к алогизму, к бессмыслице.
        Поразительный образец ослепления формализмом мы наблюдаем, когда тов. Яновская пытается определить логическое следствие на примере. Тов. Яновская пишет: «Определение «логического следствия» приобретает настоящий интерес не в пределах самого исчисления высказываний, а когда мы переходим к его применениям. Поясним соответствующее определение на примере.
        Пусть имеем следующую систему посылок:

                   1. На основной вопрос философии об отношении между мышлением и бытием существуют только два ответа: материалистический или идеалистический.
                   2. Материалистический ответ несовместим с идеалистическим.
                   3. Если махисты говорят правду, то их ответ на основной вопрос философии не материалистический и не идеалистический.

                   Непосредственно очевидно, что логическим следствием отсюда является предложение:
                   4. Махисты не говорят правды»[28].

        Сформулировав эти «посылки», тов. Яновская производит с ними требуемые манипуляции (преобразовывает их, переводит на символический язык и т. д.), и — о чудеса! — её ответ гласит то же самое: «Махисты не говорят правды».
        Вместо того чтобы рукоплескать такому «триумфу», мы скажем: это профанация нашего великого учения. Что доказывается этим примером? Перемешивая дважды два четыре с чёрным снегом, женщин — с неодушевлёнными предметами, исписывая целые страницы формулами для «доказательства» того, что если все люди смертны, то и я, к сожалению, смертен, формалисты подгоняют ответ под обычные логические формы и законы. И в данном примере, приведённом Яновской, искусственный характер «посылок» очевиден.
        Но дело обстоит ещё хуже.
        Каков смысл ответа: «Махисты не говорят правды»? Этот смысл буквально таков: их ответ или материалистический или идеалистический, причём только один из двух. Таковы «содержательность» и «определённость» этих упражнений!
        В. И. Ленин, как известно, ответил на этот вопрос не в порядке «или — или», а именно вполне определённо: ответ махистов есть ответ идеалистический.
        Примечания к книге Тарского составлены очень небрежно. Например, в примечании 4 к положению «для всех чисел х и у существует число z такое, что х = у + z» ^[29] сказано, что «это высказывание ложно сформулировать и так: как бы мы ни выбирали числа х и у, всегда найдётся зависящее от них число z, такое, что х=у+х». И далее: «Заметим также, что слово «найдётся» не вполне подходит. Требуется только, чтобы такое число существовало»[30]. Так в тексте же и написано «существует», это в примечании написано «найдётся». Кому нужно такое примечание? А чего стоит развязный тон занимающего целых 3 страницы, примечания по поводу взаимно однозначного соответствия!

        Но в тех местах, где автор допускает грубые извращения и искажения, необходимо было бы дать настоящую критику, а не отделываться двумя — тремя фразами, как это сделало в примечаниях 6, 32, 44, 52 и других.
        Все зарубежные лидеры математического идеализма стоят на позициях замены всякой иной логики логикой математической. А тов. Яновская не борется против этого тезиса. По её мнению, математическая логика «может быть рассматриваема
[339]  
не только как логика математики, но и как математика логики».[31]
        «Учитывая интересы читателя, — пишет тов. Яновская, — не собирающегося специально изучать математическую логику, но желающего познакомиться с её элементами и выяснить место в ней традиционной логики, мы даём здесь несколько более популярное изложение материала».[32] Что же это, как не включение логики в математическую логику?
        Тарский критикует формальную логику «справа», с позиций сторонников математической логики, а тт. Яновская и Адельсон-Вельский молчаливо подтверждают эту позицию. Система подобных умалчиваний по поводу целого ряда наступлений на формальную логику равна, по существу, прямой поддержке указанного тезиса о замене всякой логики математической.
        Товарищи Яновская и Адельсон-Вельский в своих статьях, комментариях и примечаниях к работам зарубежных математических идеалистов проявили эклектизм, примиренчество к идеализму.
        Мы полагаем, что рассмотрение философских основ математической логики и раскрытие ошибок, допущенных тт. Яновской и Адельсоном-Вельским, приведут к усилению борьбы с математическим идеализмом, влияние которого на отдельных советских математиков, видимо, до сих пор ещё не изжито. Наиболее верный способ исправления ошибок состоит в скорейшем издании написанных советскими математиками и логиками работ, касающихся математической логики.
        Нет никакого сомнения в том, что советская математика, имеющая большие заслуги перед Родиной, будет и впредь развиваться на гранитном фундаменте марксистско-ленинской философии диалектического материализма, отбрасывая все и всяческие попытки идеологической реакции отклонить её от этого единственно правильного, научного пути.

         Письмо в редакцию

        Обсуждение в ряде научных учреждений Москвы моих предисловий и комментариев к книгам Гильберта и Аккермана и Тарского обнаружило отсутствие ясности в решении основного вопроса — о сущности так называемой математической логики. Сознавая, что такое отсутствие ясности является виной моей как научного редактора этих книг и автора предисловий и комментариев, я хочу попытаться сформулировать свою точку зрения по этому вопросу и прошу редакцию поместить настоящее моё письмо.

         * * *

        Одной из особенностей математики является специфическое для неё употребление знаков — прежде всего цифр и буквенных обозначений — и образуемых из этих знаков формул. Математические формулы служат не только целям выражения количественных и пространственных соотношений, но и техническими средствами решения задач и доказательства теорем. При этом с ними приходится оперировать по определённым правилам. Особенности математического оперирования со знаками, его отличие от собственно логического доказательства тонко подметил Энгельс. В одной из заметок, написанных Энгельсом при подготовке «Анти-Дюринга», мы читаем:
        «Вычисляющий рассудок — счетная машина! — Забавное смешение математических действий, допускающих материальное доказательство, проверку, — так как они основаны на непосредственном материальном созерцании, хотя и абстрактном, — с такими чисто логическими действиями, которые допускают лишь доказательство путем умозаключения и которым, следовательно, не свойственна положительная достоверность, присущая математическим действиям, — а сколь многие из них оказываются ошибочными! Машина для интегрирования...»[33].
        Ясно, что эта заметка направлена против реакционных поползновений идеализма использовать создание машин, выполняющих сложные математические операции, такие, например, как интегрирование, для подмены рассуждения вычислением. С другой стороны, в этой заметке Энгельс подчёркивает, что математические действия, выполняемые, как выше отмечено, над знаками и образованными из них формулами, допускают «материальное доказательство, проверку, — так как они (математические действия — С. Я.) основаны на непосредственном материальном созерцании, хотя и абстрактном», почему им и присуща специфическая именно для математических операций «положительная достоверность».